Les rayons X et la matière

Lors de la propagation à travers un milieu matériel, les rayons X peuvent être déviés par les atomes du milieu (diffusion) ou bien absorbés. C’est ce dernier phénomène qui est mis en jeu dans les applications médicales de la radiographie.

Le lecteur est invité à se reporter à l’article intitulé « Qu’est-ce-qu’un rayon X ? Comment en produire ? Quel mécanisme permet d’obtenir une radiographie ? » pour avoir des notions de bases concernant les rayons X, leur production et leur absorption par la matière. Dans la suite de cet article, nous nous intéressons à la diffusion des rayons X par les atomes.

Diffusion des rayons X par un atome

Pour simplifier, on considère un rayonnement monochromatique. Le rayonnement de longueur d’onde λ peut être décrit par sa fonction d’onde ψ en tout point de l’espace (repéré par le vecteur position $\vec{r}$ ) et à chaque instant t :

$${\Psi}(\vec{r},t)={{\Psi}_0}\exp\big[j({\omega}t-2π\vec{k}.\vec{r}+{\Psi}_0\big]$$

où $j$ désigne le nombre imaginaire pur tel que $j^2=-1$, ${\Psi}_0$ est la phase à l'origine spatiale et temporelle, $\vec{k}$ est le vecteur d’onde tel que $\mid\mid{\vec{k}}\mid\mid=1/{\lambda}$ et $\omega = \frac{2{\pi}c}{\lambda}$ est la pulsation (c étant la vitesse de la lumière).

Sous l’effet d’une onde électromagnétique, de vecteur d’onde $\vec{k_0}$, par exemple un rayon X, un électron se met à osciller. En tant que particule chargée accélérée, il rayonne une nouvelle onde électromagnétique de même longueur d’onde (donc de même énergie), de vecteur d’onde $\vec{k_1}$ . Ce phénomène est de la diffusion élastique dite diffusion de Rayleigh (Figure 1).

Chaque électron du nuage électronique d’un atome subit le même phénomène.

Cependant, comme la taille d'un atome est voisine de la longueur d'onde des rayons X, le champ électrique excitateur n'est pas uniforme à l'échelle de l'atome. Deux électrons d'un même atome rayonnent donc des ondes déphasées, qui interfèrent. Pour calculer l’amplitude du champ électrique total rayonné par l’atome, on ne peut pas simplement sommer les contributions de chaque électron pris indépendamment. On a recours à l’intégrale de Fraunhofer, qui permet de calculer pour chaque atome un facteur de forme f intimement lié à la distribution radiale de sa densité électronique et qui caractérise la capacité de l’atome à diffuser un champ électromagnétique. Le facteur de forme dépend naturellement de la nature de l’atome, de son nombre d’électrons, mais aussi de l’angle incident du faisceau.

Diffusion des rayons X par un cristal

De même qu’au sein d’un atome les électrons diffusent des ondes déphasées, au sein d’une maille cristalline, les atomes rayonnent des ondes déphasées. On définit alors un facteur de structure F qui caractérise la diffusion des rayons X par la maille. On somme les contributions (notées f_i) de chaque atome de la maille en les corrigeant par un facteur de déphasage, fonction de leur position dans la maille, position caractérisée par le vecteur $\vec{r_i}={x_i}\vec{a}+{y_i}\vec{b}+{z_i}\vec{c}$ (où $\vec{a}$, $\vec{b}$ et $\vec{c}$ sont les vecteurs de base définissant la maille, voir le premier article du dossier). On obtient, par sommation sur l'indice i repérant les atomes de la maille :

$$F=\sum_{i}{{f_i}\exp[2{\pi}j\vec{k}.\vec{r_i}]}$$

où  $\vec{k}=\vec{k_1}-\vec{k_0}$ est le vecteur de diffusion, différence entre les vecteurs d’onde de l’onde diffusée et de l’onde incidente.

L’amplitude totale de l’onde diffusée par le cristal est alors la somme des amplitudes des ondes diffusées par les mailles en prenant en compte le déphasage des unes par rapport aux autres : un terme $\exp[2{\pi}j\vec{k}.({u}\vec{a}+{v}\vec{b}+{w}\vec{c})]$ traduisant ce déphasage apparaît dans l’expression de l’amplitude totale diffusée A :

$$A=\sum_{u,v,w}{F\exp[2{\pi}j\vec{k}.({u}\vec{a}+{v}\vec{b}+{w}\vec{c})]}$$

u, v et w sont des entiers naturels. Parcourir les triplets (u,v,w) revient à parcourir l’ensemble des mailles d’un cristal.

En reprenant l'expression de F précédente, l’amplitude totale diffusée A s'exprime ainsi (l'indice i repérant les atomes d'une maille) :

$$A=\sum_{u,v,w}{\bigg(\sum_{i}{{f_i}\exp\big[2{\pi}j\vec{k}.\vec{r_i}\big]}\bigg)\exp\big[2{\pi}j\vec{k}.({u}\vec{a}+{v}\vec{b}+{w}\vec{c})\big]}$$

Conditions d'observation de la figure de diffraction

On parle de diffraction lorsque les phénomènes d’interférence deviennent prépondérants et modulent significativement l’intensité diffusée. Pour cela, il faut que la longueur d’onde soit de l’ordre de grandeur de la distance interatomique. En effet, dans l’expression précédente, si λ est grand devant $1/\mid\mid{\vec{r_i}}\mid\mid$, $\vec{k}.\vec{r_i}$ et $\vec{k}.(u\vec{a}+v\vec{b}+w\vec{c})$ tendent vers zéro, les exponentielles tendent vers 1 et l’amplitude de l’onde diffusée (et donc son intensité) varie peu.

Rappel : l’intensité de l’onde diffusée est proportionnelle au carré du module de son amplitude : $I\propto{A^2}$

Un cristal est généralement constitué d’un très grand nombre de mailles.

Les atomes de carbone sont situés : aux 4 sommets de la maille (ils sont alors partagés entre 8 mailles), aux centres des 6 faces (ils sont alors partagés entre 2 mailles) et dans 4 sites tétraédriques de la maille (ils appartiennent alors en propre à la maille).

Le nombre d’atomes de carbone par maille vaut :

$N_{atomes/maille}$= 8×1/8 + 6×1/2 + 4 = 8

On en déduit que le nombre de mailles dans le cristal en forme de cube de côté a  = 1 mm vaut :

$$N_{mailles}=\frac{N_C}{N_{atomes/maille}}=2,1\times 10^{16}\ \text{mailles}.$$

Condition de Laue

Du fait du grand nombre de mailles dans un cristal, on admet que l’amplitude de l’onde diffusée A n’est non nulle que si le terme de déphasage entre mailles $\exp[2{\pi}j\vec{k}.({u}\vec{a}+{v}\vec{b}+{w}\vec{c})]$ vaut exactement 1 (autrement, les contributions des différentes mailles s’annulent). Cela implique $\vec{k}.({u}\vec{a}+{v}\vec{b}+{w}\vec{c})=n$, avec $n$ un entier.

Pour expliciter autrement cette condition, on définit des vecteurs notés $\vec{a^*}$, $\vec{b^*}$ et $\vec{c^*}$ via les relations ci-dessous, dans lesquelles $V_{maille}$ désigne le volume de la maille :

$$\vec{a^*}=\frac{\vec{b}\wedge\vec{c}}{V_{maille}};  \quad  \vec{b^*}=\frac{\vec{c}\wedge\vec{a}}{V_{maille}} \quad \text{et} \quad \vec{c^*}=\frac{\vec{a}\wedge\vec{b}}{V_{maille}}$$

Le volume de la maille s’exprime par le produit mixte : $$V_{maille}=\vec{a}.(\vec{b}\wedge\vec{c})=\vec{b}.(\vec{c}\wedge\vec{a})=\vec{c}.(\vec{a}\wedge\vec{b})$$

Les vecteurs $\vec{a^*}$, $\vec{b^*}$ et $\vec{c^*}$ vérifient donc les relations :  $\vec{a}.\vec{a^*}=1$, $\vec{b}.\vec{b^*}=1$ et $\vec{c}.\vec{c^*}=1$.

On peut remarquer également que :

$$\vec{b}.\vec{a^*}=0$$ $$\vec{c}.\vec{a^*}=0$$ $$\vec{a}.\vec{b^*}=0$$ $$\vec{c}.\vec{b^*}=0$$ $$\vec{a}.\vec{c^*}=0$$ $$\vec{b}.\vec{c^*}=0$$

Les vecteurs $\vec{a^*}$, $\vec{b^*}$ et $\vec{c^*}$ forment une base d’un réseau que l’on appelle réseau réciproque. Ce réseau réciproque est un réseau fictif, sans signification physique réelle, mais « pratique » mathématiquement. En effet, la condition $\vec{k}.({u}\vec{a}+{v}\vec{b}+{w}\vec{c})=n$, avec u, v, w et n des entiers, devient :

$\vec{k}=h\vec{a^*}+k\vec{b^*}+l\vec{c^*}$ avec h, k, l des entiers.

Ainsi, pour que la diffraction ait lieu, le vecteur de diffusion $\vec{k}=\vec{k_1}-\vec{k_0}$ doit être un vecteur du réseau réciproque à coordonnées entières : c'est la condition de Laue. Notons que c’est un vecteur normal (perpendiculaire) aux plans d’indices de Miller (h k l) !

Cette condition implique que le rayon incident est diffracté dans la même direction que s’il avait été réfléchi par un plan réticulaire d’indice (h k l) (Figure 3).

Ainsi l’angle entre le faisceau diffracté par un plan réticulaire d’indice (h k l) et le faisceau incident faisant un angle θ avec ce plan vaut 2 θ.

Loi de Bragg

D’après ce qui précède, on peut considérer que chaque plan réticulaire se comporte comme un miroir vis-à-vis du faisceau incident. Par analogie avec un réseau par réflexion, le fait que les miroirs d’une même famille sont ordonnés provoque l’apparition d’un phénomène de diffraction.

En effet, les plans d’une même famille renvoient le faisceau dans la même direction mais déphasés, ce qui provoque des interférences. Celles-ci sont le plus souvent destructives, mais pour certaines directions, elles sont constructives et un faisceau diffracté peut effectivement être détecté : il s’agit du même type d’interférences que celles générées par un CD (Figure 4).

La loi de Bragg relie la distance entre les plans réticulaires d’une même famille à la direction dans laquelle le faisceau diffracté est observé et sa longueur d’onde :

$2d_{h,k,l}\sin(\theta) = n\lambda$ où $n$ est un entier

$d_{h,k,l}$ est la distance entre deux plans consécutifs de la famille d'indices de Miller h, k et l.

La loi de Bragg se démontre géométriquement, en s’assurant que deux rayons parallèles frappant deux plans consécutifs d’une même famille soient en interférence constructive : la différence de chemin optique entre les deux rayons doit ainsi être un multiple entier de la longueur d'onde.

D’après la figure 27, la différence de chemin optique entre les deux rayons frappant deux plans réticulaires consécutifs vaut $\delta=OH'+OH=2OH=2d_{h,k,l}\sin(\theta)$.

L’interférence est donc constructive si $\delta=n\lambda$ ⇔ $2d_{h,k,l}\sin(\theta)=n\lambda$.

Ceci dit, la loi de Bragg n’en reste pas moins qu’une reformulation de la condition de Laue.

La condition de Laue étant vérifiée, les ondes diffusées par les mailles sont alors en phase : les interférences sont donc constructives, et l’amplitude de l’onde diffusée par le cristal est égale à la l’amplitude de l’onde diffusée par une maille, multipliée par le nombre de mailles. On ne s’intéresse donc, dès lors, qu’au facteur de structure F qui caractérise la diffusion par la maille.

Exemples de calculs de facteurs de structure

Pour un vecteur $\vec{k}$ satisfaisant la condition de Laue, le terme $\vec{k}.\vec{r_i}$ du facteur de structure devient: $$\vec{k}.\vec{r_i}=(h\vec{a^*}+k\vec{b^*}+l\vec{c^*}).({x_i}\vec{a}+{y_i}\vec{b}+{z_i}\vec{c})=h{x_i}+k{y_i}+l{z_i}.$$ 

Le facteur de structure de la maille s’écrit alors :

$$F_{h,k,l}=\sum_{i}{{f_i}\exp[2{\pi}j(h{x_i}+k{y_i}+l{z_i})]}$$

Le triplet (x_i, y_i, z_i) correspond aux coordonnées réduites de l’atome, coordonnées dans la base ($\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$). Ces coordonnées réduites sont comprises entre 0 et 1.

Considérons quelques exemples :